Pembahasan Soal Persamaan dan Fungsi Kuadrat Untuk SMA Kelas X11

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

1.   Nilai minimum suatu fungsi kuadrat sama dengan 5 dan diperoleh untuk x = 3. Fungsi kuadrat bernilai 8 untuk x = 4. Tentukan fungsi kuadrat itu?

Jawab

Nilai minimum = titik puncak

Titik puncak (3,5)

(X,y) = (4, 8)

Rumus mencari fungsi kuadrat yang diketahui titik puncaknya.

Y             = a (x – x_p)² + y_p

8             = a (4 – 3)² + 5

8             = a + 5

8 – 5        = a

a              = 3

masukan a kepersamaan awal

Y             = a (x – x_p)² + y_p

Y             = 3( x – 3)² + 5

Y             = 3(x² – 6x + 9) + 5

Y             = 3x² – 18x + 27 + 5

Y             = 3x² – 18 x +32

2.  Terdapat sebuah pintu dan sebuah tongkat yang tidak diketahui ukurannya. Jika tongkat dibawa masuk secara mendatar, tongkat tidak dapat masuk karena kelebihan panjang 40 m. Jika dibawa masuk secara tegak, tongkat tidak dapat masuk, karena kelebihan panjang 20 m. Akan tetapi jika dibawa masuk menurut diagonal tongkat tepat masuk. Tentukan panjang dan lebar tinggi pintu tersebut?

Jawab:

Misalkan x         = lebar

Y                       = tinggi

Z                       = Panjang

Y    = x + 40 (kelebihan panjang 40 m)

X   = y – 40

Y    = z + 20

Z    = y – 20

Y²    = x² + z²

Y²   = ( y – 40)² + (y – 20)²

Y²   = y² – 80 y + 1600 + y² – 40 y + 400

Y²    = 2y² – 120 y + 2000

2y² – y² – 120 y + 2000 = 0

Y² – 120 y + 2000        = 0

( y – 100) (y – 20)        = 0

Y – 100     = 0

Y             = 100

Atau

Y – 20      = 0

y              = 20 (tidak memnuhi)

masukan ke bentuk awal

x    = y – 40

x    = 100 – 40

x    =  60 m

z    = y – 20

z    = 100 – 20

z    = 80 m

diperoleh panjang pintu         = 80 m

lebar pintu                            = 60 m

Tinggi pintu                          = 100 m

3.  Diketahui persamaan kuadrat px² – (2p-3)x + p + 6 = 0 memiliki akar-akar kembar. Tentukan nilai p dan akar-akar kembar tersebut?

Jawab

Akar-akar kembar berarti deskriminanya = 0

px² – (2p-3)x + p + 6 = 0

D             = 0

b² – 4 a c  = 0

(-2p + 3)² – 4. P(p + 6)           = 0

(4p² – 12p + 9) -4p(p + 6)       = 0

4p² – 12p + 9 – 4p² – 24 p      = 0

-12p + 9 – 24 p                      = 0

-36p                                     = -9

P                                          = -9/-36

P                                           = ¼

Ganti p dengan ¼

px² – (2p-3)x + p + 6 = 0

¼ x² – (2 x ¼ - 3) x + ¼ + 6     = 0

¼x² + 5/2 x + 25/4                = 0 (x 4)

X² + 10x + 25     = 0

(x + 5) (x + 5)    = 0

X₁ = -5 dan x₂     = -5

4.  Akar-akar persamaan kuadrat ax² – 3ax + 5(a – 3) = 0 adalah x₁ dan x₂. Jika x₁³ + x₂³ = 117, tentukan nilai a² + a?

Jawab

ax² – 3ax + 5(a – 3) = 0

X₁ + x₂     = -b/a

                = -(-3a)/a

                = 3a/a

                = 3

x₁ . x₂         = c/a

              

 

X₁³ + x₂³   = 117

X₁³ + x₂³   = (x₁ + x₂)³ – 3x₁x₂ (x₁ + x₂)

117a              = 27 – 45a + 135

117a + 45a     = 162

162a              = 162

a                   = 1

a² + a             = 1² + 1

                     = 2